Михаил Синькевич родился в Москве. В 1987 году окончил среднюю специальную музыкальную школу при Белорусской государственной консерватории и поступил на дирижерско-хоровое отделение Ленинградской государственной консерватории им. Н. А. Римского-Корсакова. В 1990-м продолжил обучение на отделении оперно-симфонического дирижирования, которое окончил в 1994 году (класс народного артиста России профессора Ильи Мусина).
Будучи студентом, Михаил Синькевич работал в Театре оперы и балета Санкт-Петербургской консерватории и в Государственном детском музыкальном театре «Зазеркалье». После дебюта с Государственным академическим симфоническим оркестром Республики Беларусь в 1994-м был приглашен в Национальный академический Большой театр оперы и балета Республики Беларусь. С 1997 по 1999 год – главный дирижер белорусского Государственного академического музыкального театра. С 2003 по 2006 год – главный приглашенный дирижер симфонического оркестра «Санкт-Петербург Камерата».
В 2000-м по приглашению маэстро Гергиева Михаил Синькевич стал дирижером Мариинского театра, где в течение почти десяти лет был также заместителем художественного руководителя – директора по оперной труппе. Его репертуар в Мариинском театре включает оперы «Псковитянка», «Царская невеста», «Сказание о невидимом граде Китеже и деве Февронии», «Жизнь за царя», «Руслан и Людмила», «Князь Игорь», «Борис Годунов», «Хованщина», «Евгений Онегин», «Мазепа», «Пиковая дама», «Иоланта», «Садко», «Леди Макбет Мценского уезда», «Семен Котко», «Свадьба Фигаро», «Волшебная флейта», «Лючия ди Ламмермур», «Бал-маскарад», «Травиата», «Риголетто», «Макбет», «Сила судьбы», «Дон Карлос», «Трубадур», «Аида», «Мадам Баттерфлай», «Турандот», «Кармен», «Золото Рейна», «Валькирия», «Летучий голландец», «Лоэнгрин», «Плащ», «Сестра Анжелика», «Джанни Скикки», «Паяцы», «Адриана Лекуврёр», «Саломея», «Отелло», «Игрок», «Енуфа», «Любовный напиток», «Набукко», «Обручение в монастыре», а также почти все классические балетные спектакли.
В содружестве с Академией молодых оперных певцов Мариинского театра подготовил и провел на сцене Концертного зала Мариинского театра концертные исполнения опер «Искатели жемчуга» Бизе, «Сибирь» и «Федора» Джордано, «Золушка» и «Клеопатра» Массне, «Эсмеральда» Даргомыжского, «Франческа да Римини» Рахманинова, «Игроки» Шостаковича, «Григорий Мелехов» Дзержинского, «Поздравляем» Вайнберга (премьера в России), «Король шахмат» А. Чайковского.
Постоянно дирижирует концертами в Мариинском театре и Концертном зале с участием ведущих солистов театра. Гастролирует с оперной и балетной труппами Мариинского театра в разных странах мира, выступал в Метрополитен-опере, Королевском оперном театре Ковент-Гарден, Фестшпильхаусе (Баден-Баден), в Лос-Анджелесе, Вашингтоне, на Зальцбургском и Мельбурнском фестивалях. Сотрудничает с оперными театрами в России (Большой театр, оперные театры Новосибирска, Перми, Казани) и за рубежом – в Беларуси, Германии, Хорватии и многих других странах.
С 2013 года занимает пост главного дирижера в Музыкальном театре Республики Карелия (Петрозаводск), где как музыкальный руководитель и дирижер поставил спектакли «Пиковая дама», «Иоланта», «Сельская честь», «Любовный напиток», «Севильский цирюльник», «Волшебная флейта».
В 2009-м Михаил Синькевич дебютировал в Новом национальном театре (Токио), впервые в Японии исполнив оперу Дмитрия Шостаковича «Леди Макбет Мценского уезда». В 2012 году в содружестве с Фондом Вагнера (Германия) как дирижер-постановщик осуществил премьеру оперы «Летучий голландец» в Донецке; этот спектакль затем с успехом был показан в Киеве, Львове и Одессе, а также на гастролях в Германии.
Многие годы сотрудничал с Национальным театром Хорватии в Загребе, где провел премьеры «Мазепы» Чайковского (2010) и «Трубадура» Верди (2011), а также дирижировал операми «Бал-маскарад», «Кармен», «Риголетто», «Енуфа» (2015) и др. Среди зарубежных выступлений Синькевича последних лет – концертное исполнение «Евгения Онегина» в Праге и новая постановка «Набукко» в Национальной опере Софии (2016). Член жюри и дирижер Международного конкурса вокалистов им. Л. П. Александровской (Минск, 2012) и Международного конкурса молодых оперных певцов им. Н. А. Римского-Корсакова (Тихвин – Санкт-Петербург, 2016). В сентябре 2017 года дирижировал оркестром на финальном туре Международного конкурса молодых оперных певцов Елены Образцовой, в июле 2019-го – Симфоническим оркестром Мариинского театра на финальном туре XVI Международного конкурса им. П. И. Чайковского по специальности «cольное пение».