Эйюб Кулиев родился в 1984 году в Баку. В 2005 году окончил Бакинскую музыкальную академию по классу дирижирования (класс Я. Адигезалова), затем продолжил обучение в аспирантуре Санкт-Петербургской государственной консерватории и Венского университета музыки и изящных искусств. Принимал участие в мастер-классах Д. Хардинга, Р. Капассо, Ю. Симонова, Р. Абдуллаева.
Кулиев выступал в лучших концертных залах мира, сотрудничал с такими коллективами, как симфонические оркестры Colours (Греция) и «Кадакес» (Испания), Санкт-Петербургский государственный симфонический оркестр, Оркестр Государственного Эрмитажа, Государственный симфонический оркестр Азербайджана и другие.
В феврале 2010 года Эйюб Кулиев в качестве дирижера принимал участие в концерте фестиваля «Музыкальный Олимп» в Карнеги-холле в Нью-Йорке.
Указом Президента Азербайджанской Республики Гейдара Алиева 23 августа 1998 года имя Эйюба Кулиева вписано в «Золотую книгу молодых талантов Азербайджана», также он был удостоен Президентской стипендии. В 2006 году Кулиев стал лауреатом национальной премии «Достижение», а в 2009 – обладателем министерской награды «Вершина».
Дирижер является победителем ряда конкурсов, среди которых Международный конкурс дирижеров им. В. Лютославcкого в Белостоке (2006, I Приз), Международный конкурс дирижеров им. Д. Митропулоса в Афинах (2008, Приз оркестра). В 2010 году Эйюб Кулиев завоевал высшую награду (Приз Джузеппе Синополи) на Международном конкурсе дирижеров им. Артуро Тосканини в Парме (Италия).