Игорь Барбаков родился в Казани. В 2012 году окончил Казанскую государственную консерваторию им. Н. Г. Жиганова. Принимал участие в постановках оперной студии консерватории: Принц («Любовь к трем апельсинам»), Айзенштайн («Летучая мышь»), дон Базилио («Свадьба Фигаро»), Бони и Эдвин («Сильва») и др.
В 2013 году стал солистом Татарской государственной филармонии им. Габдуллы Тукая, а в 2014-м – солистом Калининградского областного музыкального театра. На сцене этого театра исполнил партии Лыкова («Царская невеста»), Ленского («Евгений Онегин»), Моцарта («Моцарт и Сальери»), Альмавивы («Севильский цирюльник»), Айзенштайна и Альфреда («Летучая мышь»), тенора в Реквиеме Моцарта.
С 2016 года – солист Академии молодых оперных певцов Мариинского театра.
Репертуар в Мариинском театре:
Левко («Майская ночь»)
Клопен («Эсмеральда», концертное исполнение)
Кругель («Игроки», концертное исполнение)
Котляров («Тихий Дон», концертное исполнение)
Кай («История Кая и Герды»)
Тамино («Волшебная флейта»)